基于智能算法的多面函数在高程拟合中的应用

贾思楠，吴风华，范祺

(1.华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210；
2. 华北理工大学 机械工程学院，河北 唐山 063210)

GPS作为全球导航系统中发展最为成熟的定位系统，推动空间大地测量技术向着多功能、高精度、高效率方向发展。在测绘行业利用GPS技术获得精确的高程基准满足实际工程项目需求，但其直接所测高程数据对应水准面不符合我国应用要求，因此在不同系统间实现坐标转换以获得所需高程数据成为研究关键，高程拟合的核心任务是求出高程异常值。

在地势平坦地区，利用常规拟合方法计算简单且有较好效果，如多面函数法、样条曲线法、多项式曲线法等。但在地势起伏较大的特殊区域，传统方法拟合模型精度下降，无法满足实际应用需求，需要对传统方法提出改进。袁晓燕[1]针对特定地形高程拟合，利用神经网络算法易陷入局部最优解的特点，提出将数学模型与神经模型结合改进多项式拟合法，证明该方法满足四等测量水准要求的可行性；
蒲伦[2]依靠粒子群算法优化高程拟合模型，对比拟合结果发现模型精度有较大提高且收敛效果好；
杨志坚[3]采用遗传算法拟合克里金插值法中的变异参数使得参数估计更为便捷，高程拟合误差变化更为平缓。该研究提出采用组合蚁群算法和遗传算法改进多面函数的拟合方法，基于智能算法确定合理中心节点和最优光滑因子，建立高精度拟合模型，为解决地势波动较大地区获取准确高程数据问题提供现实指导价值。

多面函数法核心思想是通过n个规则曲面叠加构成一个不规则的连续光滑曲面，其高程函数为：

(1)

式中，Q表示为核函数，αi表示为加权参数，(x,y)表示为未测点坐标，(xi,yi)表示已测点坐标。

基于观测值与拟合值偏差小的原则，提高估算值变化平稳度，当前常用拟合效果较好的核函数按照空间描述类型分为倒双曲、正双曲和三次曲面函数3类[4]，表达式分别为：

倒双曲函数:

Q=((x-xi)2+(y-yi)2+δ)-1/2

(2)

正双曲函数:

Q=((x-xi)2+(y-yi)2+δ)1/2

(3)

三次曲面函数:

Q=((x-xi)2+(y-yi)2)3/2+δ

(4)

式中，δ表示为核函数的光滑因子，光滑因子重要性在于取值决定了核函数的拟合细节和模型拟合精度，取值一般在(0,1)的区间内。

选择正双曲函数作为核函数，将高程函数以线性代数矩阵形式表达为:

(5)

残差方程为:

(6)

在满足约束条件即已知点数大于待求系数时，可由最小二乘法求解得到系数矩阵为:

(7)

在已知系数矩阵后代入高程方程中得到拟合模型公式，对未知点p高程异常值的求解为:

(8)

2.1 蚁群算法基本原理

蚁群算法是一种群体智能优化仿生算法，蚂蚁觅食过程中不断挥发信息素，不同蚂蚁间受到信息素的影响来指导其移动方向，产生的结果是蚂蚁将会选择信息素量最大的路径，因此形成正反馈机制。在已选择的最短路径上信息量不断增加并不断削弱周围路径信息量，通过蚂蚁间信息素交换在整个蚁群间最终形成一条食物与巢穴间的最优路径[5]。受蚁群觅食过程启发形成蚁群算法，借助经典TSP问题阐述蚁群算法关键步骤应用。

(9)

式中，τij(t)表示为t时刻城市i和城市k间最短距离的信息素浓度；
ηik为蚂蚁从城市i到城市j转移的期望程度，具体形式为城市间欧氏距离的倒数；
α为信息启发因子；
β为期望启发因子。

为减少非最优路径中残余信息素干扰启发信息，当每只蚂蚁走过一步或完成全元素遍历后按照以下规则进行信息素浓度调整:

(10)

蚁群算法求解流程如图1所示。

图1 蚁群算法流程图

2.2 蚁群算法选取中心节点

多面函数中心节点的位置和数量决定了复杂曲面的叠加效果和拟合模型精度。在地势平坦地区因观测点数据分布较为均匀，利用均匀网格法选择适合的中心节点能满足精度要求。但在地势复杂区域，常规方法选择的中心节点与地貌特征点匹配并非最优。基于智能蚁群算法具有较强鲁棒性和正反馈性的特点，应用该方法确定多面函数中心节点提高了拟合精度。

按照蚁群算法计算流程，首先，进行已知数据预处理，获取高程模型建模所需的离散数据，随机分配若干只蚂蚁，并设置初始信息素浓度相同；
其次，在数据集中选择节点不断添加蚂蚁直至形成完整路径并标记每条路径特征点，在寻路过程中根据地形情况适时调整，将最优路径向山脊线或山谷线等特征点处靠近；
然后，去除无关节点路径，避免多余路径造成过度拟合；
最后，更新全部路径信息素浓度，根据信息素浓度高低引导蚂蚁向最优路径移动，确定最优中心节点。

3.1 遗传算法基本原理

遗传算法源于生物系统内遗传启发形成的随机全局路径搜索优化方法，模拟了自然界生物间在遗传选择中的复制、交叉等现象。在已知的确定初始种群中出发，通过随机选择、交叉变异等操作，不断迭代最终收敛确定得到适合环境的最优个体[6]。

遗传算法收敛和确定个体最优的关键在于遗传算子和适应度函数。遗传算法依据适应度函数实现“优胜劣汰”，操作中以适应值的变化不断选择和繁殖，将更优基因遗传到下一代，若干代后找到适应值最优个体。遗传算子中选择算子采用轮盘赌的方法，先获得适应度函数各部分之和，根据权重占比情况，选择出下一代个体，个体适应度越高被选中概率越大。这种方法在保证了部分非最优个体的同时又防止陷入局部最优解的问题。交叉操作是在种群中随机选取2个个体进行染色体交换组合形成新的个体，新个体遗传了2个父个体的优秀特征。交叉前先确定交叉概率pc，之后产生随机数与pc比较，进行交叉操作的条件是随机数小于pc。变异前先确定变异概率pm，之后产生随机数与pm比较，进行变异操作的条件是随机数小于pm。遗传算法求解流程如图2所示。

图2 遗传算法流程图

3.2 遗传算法选取光滑因子

光滑因子作为多面函数中重要的影响因子，利用遗传算法对光滑因子完成选取，基于原理和计算流程，将种群染色体设置为光滑因子，初始染色体为待优化参数。首先，给定光滑因子求解区间以完成种群初始化；
其次，将残差平方和倒数设置为适应度，即残差变化越平稳时被选择概率越大，该函数满足光滑因子选取要求；
再次，进行遗传选择操作，根据交叉和变异概率对新染色体进行交叉变异，在遗传过程中选取得到最优光滑因子；
最后，将最优光滑因子代入多面函数的拟合模型中得到残差值，当满足残差方程的适应度函数后停止迭代，跳出运算，即得到适合的多面函数光滑因子。

适应度函数为:

(11)

式中，n表示拟合点数；
Gi表示一点拟合值；
Yi表示该点高程异常值。

以某山区观测的300个GPS水准数据为例，分别采用传统均匀网格的多面函数法和基于蚁群-遗传算法改进的多面函数法以及二次多项式法处理得到拟合数据，选定部分核验点对比残差变化来证明改进多面函数拟合法模型精度最优。

4.1 组合智能算法改进多面函数拟合高程异常

采用组合智能算法改进传统多面函数，利用蚁群算法搜索特征值获取最优中心节点，相比均匀网格法更适用于本算例地势起伏较大的山地地区[7]。图3(a)所示为初始状态随机分布的300只蚂蚁山地地图，设置迭代次数为50次，信息挥发素系数为0.7，按蚁群算法运算流程提取特征点，不断更新信息素进行迭代计算最终得到蚂蚁沿山脊线和山谷线分布路径如图3(b)所示。对比发现，蚁群算法计算得到的特征点具有较强代表性，构成了中心节点集合作为参考，能在避免过度拟合的基础上对特征值进行筛选得到适合高程模型的最优中心节点。

图3 蚁群算法寻路状态对比

遗传算法求解光滑因子过程中核心问题在于适应度值的大小，适应度与被选择概率成正比，选择出最优光滑因子对应的残差平方和一定最小。给定初始种群数量为10，即光滑因子数量；
交叉因子越大，全局搜索范围越大，为避免提前收敛设定交叉概率为0.8；
变异概率为0.02。初始种群各光滑因子对应适应度值及模型内符合精度如表1所示，遗传算法对光滑因子寻优的计算过程如图4所示。

表1 初始光滑因子对应适应度值

图4 遗传算法求解最优光滑因子计算过程

由表1可知，不同光滑因子对应适应度值不相同且无一定规律可言，但适应度值越大所对应内符合精度越高。表中适应度值最大为124.359 6，所对应光滑因子为0.067 1。由图4可知光滑因子为0.067 1时拟合最优。

4.2 拟合精度对比

为突出智能算法改进多面函数构建拟合模型精度更高，选用传统多面函数法和二次多项式拟合方法与拟合算法做拟合结果对比[8]。选取50个核验点计算改进多面函数法外符合精度为4.37 mm，传统多面函数法为9.25 mm，二次多项式法为16.21 mm，证明改进方法精度更高。再随机选取43个核验点对比3种方法残差情况如图5所示，发现改进多面函数方法残差变化波动最小，整体曲线走势更为稳定。

图5 3种方法残差对比效果图

(1)利用蚁群算法求解多面函数中心节点，在地势复杂的山地地区获取特征点更具代表性，求解高程模型参数更为合理。

(2)利用遗传算法求解核函数光滑因子，基于适应度值最大的选取原则，确定的最优光滑因子提高了模型精度。

(3)基于蚁群-遗传算法改进多面函数的拟合方法通过实例证明，相较于传统多面函数算法和二次多项式方法，拟合数据残差波动更小，整体变化最为平稳，认为该方法拟合精度最优。

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